Question

已知函数f（x）=

1

x2

e-

1

|x|

（其中e为自然对数的底数）
（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）在（-∞，0）上求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）证明：当x＞0时，对任意正整数n都有f（

1

x

）＜n！•x^2-n．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数奇偶性的判断,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）根据函数奇偶性的定义即可判断f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）求函数的导数，利用导数即可求出函数f（x）的极值；
（Ⅱ）利用函数导数和单调性之间的关系，即可证明：当x＞0时，对任意正整数n都有f（

1

x

）＜n！•x^2-n．

解答： 解：（Ⅰ）∵f(-x)=

1

(-x)2

e-

1

|-x|

=

1

x2

e-

1

|x|

=f(x)，
∴f（x）是偶函数，
（Ⅱ）当x＜0时，f(x)=

1

x2

e

1

x

f′(x)=

-2

x3

e

1

x

+

1

x2

e

1

x

(-

1

x2

)=-

1

x4

e

1

x

(2x+1)
令f'（x）=0有x=-0.5，
当x变化时f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	(-∞， 1 2 )	- 1 2	（- 1 2 ，0)
f'（x）	+	0	-
f（x）	增	极大值	减

由表可知：当x=-

1

2

时，f（x）取极大值4e^-2．
（Ⅲ）当x＞0时f(x)=

1

x2

e-

1

x

，
∴f(

1

x

)=x2e-x
考虑到：x＞0时，不等式f(

1

x

)＜n!•x2-n等价于x²e^-x＜n!•x^2-n?xⁿ＜n!•e^x（﹡）
所以只要用数学归纳法证明不等式（﹡）对一切n∈N^*都成立即可
（i）当n=1时，设g（x）=e^x-x，（x＞0），
∵x＞0时，g'（x）=e^x-1＞0，∴g（x）是增函数，
故g（x）＞g（0）=1＞0，即e^x＞x，（x＞0）
所以，当n=1时，不等式（﹡）成立      
（ii）假设n=k（k∈N^*）时，不等式（﹡）成立，即x^k＜k!•e^x
当n=k+1时设h（x）=（k+1）!•e^x-x^k+1，（x＞0）
有h'（x）=（k+1）!•e^x-（k+1）x^k=（k+1）（k!•e^x-x^k）＞0
故h（x）=（k+1）!•e^x-x^k+1，（x＞0）为增函数，
所以，h（x）＞h（0）=（k+1）!＞0，即x^k+1＜（k+1）!•e^x，
这说明当n=k+1时不等式（﹡）也成立，
根据（i）（ii）可知不等式（﹡）对一切n∈N^*都成立，
故原不等式对一切n∈N^*都成立．

点评：本题主要考查函数单调性，极值和导数之间的关系，综合性较强，难度较大．