Question

求f（x）=|

1

x

-[

1

x

+

1

2

]|的最大值（[a]表示不超过a的最大整数）．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：分别由x的范围讨论出各区间上的[

1

x

+

1

2

]的值，代入求出即可．

解答： 解：①当0＜x＜

1

2

，[

1

x

+

1

2

]=

1

x

，
∴f（x）=|

1

x

-

1

x

|=0，
②当x=

1

2

，[

1

x

+

1

2

]=2，
∴f（x）=|

1

2

-2|=

3

2

；
③当

1

2

＜x＜1，[

1

x

+

1

2

]=2或1，
∴f（x）=|

1

x

-[

1

x

+

1

2

]|＜1，
④当x=1，[

1

x

+

1

2

]=1，
∴f（x）=0，
⑤当x＞1，[

1

x

+

1

2

]=0或1，
∴f（x）=|

1

x

-[

1

x

+

1

2

]|＜1，
⑥当x＜0时，f（x）≤

3

2

，
∴f（x）的最大值是：

3

2

．

点评：本题考查了取整函数的知识，关键是理解[]所表示的意义，本题是一道基础题．