Question

设正数数列{a_n}的前n项之和为S_n满足S_n=（

an+1

2

）²
（Ⅰ） 求a₁，a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）推测数列{a_n}的通项公式，并进行证明；
（Ⅲ）设b_n=

1

anan+1

，数列{b_n}的前n项和为T_n，若T_n＜

m

19

对一切n∈N^*成立，求最小正整数m．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由S_n=（

an+1

2

）²，利用递推思想能求出a₁，a₂，a₃，a₄．
（Ⅱ）猜测a_n=2n-1，a_n=S_n-S_n-1=(

an+1

2

)2-(

an-1+1

2

)2，从而能证明a_n=2n-1．
（Ⅲ）bn=

1

anan+1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，由此利用裂项求和法能求出最小正整数m=10．

解答： （本小题满分14分）
解：（Ⅰ）∵S_n=（

an+1

2

）²，
∴a₁=S₁=（

a1+1

2

）²，由a_n＞0，解得a₁=1，
S2=1+a2=(

a2+1

2

)2，由a_n＞0，解得a₂=3，
S3=4+a3=(

a3+1

2

)2，由a_n＞0，解得a₃=5，
S4=9+a4=(

a4+1

2

)2，由a_n＞0，解得a₄=7．…（3分）
（Ⅱ）猜测a_n=2n-1…（4分）
证明：S_n=(

an+1

2

)2，S_n-1=(

an-1+1

2

)2，
a_n=S_n-S_n-1=(

an+1

2

)2-(

an-1+1

2

)2（n≥2）…（6分）
2（a_n+a_n-1）=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1），
∴a_n-a_n-1=2，∴a_n=2n-1（n≥2）…（8分）
a₁=1满足上式，∴a_n=2n-1．…（9分）
（Ⅲ）bn=

1

anan+1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)…（10分）
T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

（1-

1

2n+1

）＜

1

2

，…（12分）
若Tn＜

m

19

对一切n∈N^*成立，则需

1

2

≤

m

19

，∴m≥

19

2

最小正整数m=10．…（14分）

点评：本题考查数列的前4项的求法，考查数列的通项公式的铺想及证明，考查满足条件的最小正整数的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．