Question

已知（a²-1）x²-（a-1）x-1＜0的解集是R，则实数a的取值范围是（　　）

• A、a＜-

  3

  5

  或a＞1
• B、-

  3

  5

  ＜a＜1
• C、-

  3

  5

  ＜a≤1或a=-1
• D、-

  3

  5

  ＜a≤1

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：首先题目由不等式（a²-1）x²-（a-1）x-1＜0的解集为R，求实数a的取值范围，考虑转化为函数f（x）=（a²-1）x²-（a-1）x-1．对任意的x，函数值小于零的问题．再分类讨论a=1或a≠1的情况即可解出答案．

解答： 解：设函数f（x）=（a²-1）x²-（a-1）x-1．
由题设条件关于x的不等式（a²-1）x²-（a-1）x-1＜0的解集为R．
可得对任意的x属于R，都有f（x）＜0．
又当a≠1时，函数f（x）是关于x的抛物线．故抛物线必开口向下，且于x轴无交点，
故满足

a2-1＜0 △=(a-1)2+4(a2-1)＜0

，
解得-

3

5

＜a＜1．
当a=1时．f（x）=-1满足题意．
综上，a的取值范围为（-

3

5

，1]．
故选D．

点评：此题主要考查一元二次不等式的恒成立问题，一般与二次函数相结合考虑解集与函数图象的关系．