Question

设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a_n+1=2S_n+2（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）在a_n与a_n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为d_n的等差数列，设数列{

1

dn

}的前n项和为T_n，证明T_n＜

15

16

．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得a_n+1-a_n=2a_n，a₂=3a₁，a₂=2a₁+2，由此能求出a_n=2•3^n-1．
（2）由已知得dn=

4×3n-1

n+1

，由此利用错位相减法能证明T_n=

15

16

-

2n+n

16×3n-1

＜

15

16

．

解答： （1）解：∵a_n+1=2S_n+2（n∈N^*），∴a_n=2S_n-1+2（n∈N^*，n≥2），
两式相减，得a_n+1-a_n=2a_n，
即a_n+1=3a_n，n≥2，
∵等比数列{a_n}，∴a₂=3a₁，
又a₂=2a₁+2，∴a₁=2，
∴a_n=2•3^n-1．
（2）证明：由（1）得an+1=2•3n，an=2•3n-1，
∵a_n+1=a_n+（n+1）d_n，
∴dn=

4×3n-1

n+1

，
∴T_n=

2

4×30

+

3

4×3

+

4

4×32

+…+

n+1

4×3n-1

，①

1

3

Tn=

2

4×3

+

3

4×32

+

4

4×33

+…+

n+1

4×3n

，②
①-②，得

2

3

Tn=

2

4×30

+

1

4×31

+

1

4×32

+…+

1

4×3n-1

-

n+1

4×3n

=

1

2

+

1

4

×

1 3 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

-

n+1

4×3n

=

5

8

-

2n+5

8×3n

，
∴T_n=

15

16

-

2n+n

16×3n-1

＜

15

16

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．