Question

数列{a_n}中，a₁=1，它的前n项和为S_n，且

2Sn

(n+1)2

=

2Sn-1

n2

+

1

n(n+1)

（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）证明：

2Sn

(n+1)2

+

1

n+1

=1，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=na_n，证明：对一切正整数n，有

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜

7

4

．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知得

2Sn+(n+1)

2Sn-1+n-1

=(

n

n-1

)2，由此利用累乘法，得

2Sn+(n+1)

2S1+2

=(

n+1

2

)2，从而得到2Sn+(n+1)=(n+1)2，由此能证明

2Sn

(n+1)2

+

1

n+1

=1，并求出a_n=n．
（2）由b_n=na_n=n²，

1

n2

＜

1

(n+1)(n-1)

=（

1

n-1

-

1

n+1

），能证明

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜

7

4

．

解答： （Ⅰ）证明：∵

2Sn

(n+1)2

=

2Sn-1

n2

+

1

n(n+1)

（n≥2，n∈N^*），
∴

2Sn

(n+1)2

=

2Sn-1

n2

+

1

n

-

1

n+1

，
∴

2Sn

(n+1)2

+

1

n+1

=

2Sn-1

n2

+

1

n

，
∴

2Sn+(n+1)

(n+1)2

=

2Sn-1+n

n2

，
∴

2Sn+(n+1)

2Sn-1+n-1

=(

n

n-1

)2，
∴

2Sn-1+n

2Sn-2+n-1

=(

n

n-1

)2，
…

2S2+3

2S1+2

=（

3

2

）²，
上式相乘，得

2Sn+(n+1)

2S1+2

=(

n+1

2

)2，
又a₁=S₁=2，∴2Sn+(n+1)=(n+1)2，
两边同时除以（n²+1），得：

2Sn

(n+1)2

+

1

n+1

=1，
∵2Sn+(n+1)=(n+1)2，①
∴2Sn-1+n=n2，②
①-②，得2a_n+1=2n+1，解得a_n=n．
（2）证明：b_n=na_n=n²，
∵n²＞（n+1）（n-1），∴

1

n2

＜

1

(n+1)(n-1)

=（

1

n-1

-

1

n+1

），
∴

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=

1

12

+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜1+

1

2

（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n+1

）
=1+

1

2

(1+

1

2

-

1

n

-

1

n+1

)
=1+

3

4

-

1

2

(

1

n

+

1

n+1

)
＜

7

4

．
∴

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜

7

4

．

点评：本题考查等式的证明，考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要注意累乘法和裂项法的合理运用．