Question

已知集合M={x|2014≤x≤2015}，N={x|x＜a，a∈Z}，若“x∈M”是“x∈N”的充分而不必要条件．
（1）求整数a的最小值；
（2）在（1）的条件下，写出命题“若x+2014≤a，则

1

x-1

≥a-2015”的否命题，并判断否命题的真假．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断,四种命题

专题：集合,简易逻辑

分析：（1）由“x∈M”是“x∈N”的充分而不必要条件，可得M?N，故a＞2015，结合a∈Z，可得整数a的最小值；
（2）在（1）的条件下，写出命题“若x+2014≤a，则

1

x-1

≥a-2015”的否命题为“若x＞2，则

1

x-1

＜1”，由反比例型函数的图象和性质，易判断其真假．

解答： 解：（1）∵集合M={x|2014≤x≤2015}，N={x|x＜a，a∈Z}，
若“x∈M”是“x∈N”的充分而不必要条件．
则M?N，
故a＞2015，a∈Z，
故整数a的最小值为2016；
（2）在（1）的条件下，写出命题“若x+2014≤a，则

1

x-1

≥a-2015”的否命题为：
“若x+2014＞2016，则

1

x-1

＜2016-2015”，
即“若x＞2，则

1

x-1

＜1”为真命题．

点评：本题考查的知识点是充要条件，集合的包含关系中的参数问题，四种命题，是逻辑与集合的综合应用，难度不大，属于基础题．