Question

已知等差数列{a_n}，a₂+a₃+a₄=15，a_n＞0，且a₂，a₃+4，a₄+20为等比数列{b_n}的前三项．
（1）求{a_n}，{b_n}的通项公式．
（2）若数列c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，由于a₂+a₃+a₄=15，a_n＞0，且a₂，a₃+4，a₄+20为等比数列{b_n}的前三项．可得3a₃=15，(a3+4)2=a2(a4+20)，即(a3+4)2=(a3-d)(a3+d+20)，解出可得a_n．由a₂=3，a₃+4=9，可得等比数列{b_n}的公比q=

9

3

=3．利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）c_n=a_n•b_n=（2n-1）•3ⁿ．利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₂+a₃+a₄=15，a_n＞0，且a₂，a₃+4，a₄+20为等比数列{b_n}的前三项．
∴3a₃=15，(a3+4)2=a2(a4+20)，即(a3+4)2=(a3-d)(a3+d+20)，
解得a₃=5，d=2或-22，
∵a_n＞0，∴d=2．
∴a_n=a₃+（n-3）d=5+2（n-3）=2n-1．
∴a₂=3，a₃+4=9，
∴等比数列{b_n}的公比q=

9

3

=3．
∴b_n=3×3^n-1=3ⁿ．
（2）c_n=a_n•b_n=（2n-1）•3ⁿ．
∴数列{c_n}的前n项和S_n=1×3+3×3²+5×3³+…+（2n-3）×3^n-1+（2n-1）×3ⁿ，
∴3S_n=3²+3×3³+…+（2n-3）×3ⁿ+（2n-1）×3ⁿ⁺¹，
∴-2S_n=3+2×3²+2×3³+…+2×3ⁿ-（2n-1）×3ⁿ⁺¹=

2×3×(3n-1)

3-1

-3-（2n-1）×3ⁿ⁺¹=（2-2n）×3ⁿ⁺¹-6，
∴S_n=（n-1）×3ⁿ⁺¹+3．

点评：本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．