Question

如图，正三棱柱（底面是正三角形且侧棱垂直底面的三棱柱）ABC-A₁B₁C₁中，
D是BC的中点，2A₁A=AB=a．
（Ⅰ）求证：AD⊥B₁D；
（Ⅱ）求三棱锥C-AB₁D的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由已知得平面B₁C⊥平面ABC，AD⊥BC，由此能证明AD⊥B₁D．
（Ⅱ）由VC-AB1D=VB1-ACD，利用等积法能求出三棱锥C-AB₁D的体积．

解答： （Ⅰ）证明：∵ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，
∴平面B₁C⊥平面ABC，
又△ABC是正三角形，D是BC的中点，∴AD⊥BC，…（2分）
又平面ABC∩平面B₁C=BC，AD⊥平面B₁C，…（4分）
又B₁D?平面B₁C，∴AD⊥B₁D．…（6分）
（Ⅱ）解：∵BB₁⊥平面ACD，且BB₁=

a

2

，
S_△ACD=

1

2

SABC=

1

4

×a×a×sin60°=

3

8

a2，
∴VC-AB1D=VB1-ACD=

1

3

S△ACD×BB1=

3

48

a3．…（12分）

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．