Question

在数列{a_n}中，a₁=

1

5

，a_n+a_n+1=

6

5n+1

（n∈N₊）
（1）证明：{5ⁿa_n-1}是常数列；
（2）设x_n=（2n-1）•10ⁿa_n，求{x_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据结论对递推公式进行化简，结合a₁的值进行证明；
（2）由（1）求出通项a_n，代入x_n=（2n-1）•10ⁿa_n化简后，利用错位相减法求数列的和T_n．

解答： （1）证明：由a_n+a_n+1=

6

5n+1

（n∈N₊）得，
5n+1an+1+5n+1an=6，即5n+1an+1+5•5nan=6，
∴5n+1an+1-1=-5•5nan+5=-5（5ⁿa_n-1），
又a₁=

1

5

，∴5a₁-1=0，
∴{5ⁿa_n-1}是常数列；
（2）解：由（1）得5ⁿa_n-1=0，即a_n=

1

5n

，
∴x_n=（2n-1）•10ⁿa_n=x_n=（2n-1）•10ⁿ•

1

5n

=（2n-1）•2ⁿ，
∴T_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ
2T_n=1×2²+3×2³+5×2⁴+…+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
两式相减得，-T_n=2+（2²+2³+2⁴+…2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-(2n-1)•2n+1=-（2n-2）•2ⁿ⁺¹-2
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺²+2．

点评：本题考查了数列递推公式的变形及化简，错位相减法求数列的和，考查了化简能力．