Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，以BD的中点O为球心、BD为直径的球面交PD于点M．
（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；
（2）求三棱锥M-ABD的体积．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由线面垂直得PA⊥AB，又AB⊥AD，从而AB⊥面PAD，由此能证明面ABM⊥面PCD．
（2）由已知条件推导出M到平面ABCD的距离d=

1

2

PA=2，由此能求出三棱锥M-ABD的体积．

解答： （1）证明：∵PA⊥面ABCD，AB?面ABCD，∴PA⊥AB，
又∵AB⊥AD，PA∩AD=A，∴AB⊥面PAD，∴AB⊥PD，
由题意得∠BMD=90°，∴PD⊥BM，
又∵AB∩BM=B，∴PD⊥面ABM，
又PD?面PCD，∴面ABM⊥面PCD．…（6分）
（2）解：∵PA=AD=4，PD⊥面ABM，
∴AM⊥PD，∴PM=DM，（8分）
∵PA⊥平面ABCD，∴M到平面ABCD的距离d=

1

2

PA=2，…（9分）
∵S△ABD=

1

2

×AB×AD=

1

2

×2×4=4，
∴三棱锥M-ABD的体积V=

1

3

×S△ABD×d=

1

3

×4×2=

8

3

．…（12分）

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．