题目内容
甲乙两人进行掰手腕比赛，比赛规则规定三分钟为一局，三分钟内不分胜负为平局，当有一人3局就结束比赛，否则继续进行，根据以往经验，每乙甲胜的概率为
，乙胜的概率为
，且每局比赛胜负互不受影响．
（Ⅰ）求比赛4局乙胜的概率；
（Ⅱ）求在2局比赛中甲的胜局数为ξ的分布列和数学期望；
（Ⅲ）若规定赢一局得2分，平一局得1分，输一局得0分，比赛进行五局，积分有超过5分者比赛结束，否则继续进行，求甲得7分的概率．
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
（Ⅰ）求比赛4局乙胜的概率；
（Ⅱ）求在2局比赛中甲的胜局数为ξ的分布列和数学期望；
（Ⅲ）若规定赢一局得2分，平一局得1分，输一局得0分，比赛进行五局，积分有超过5分者比赛结束，否则继续进行，求甲得7分的概率．
考点：离散型随机变量的期望与方差,互斥事件的概率加法公式,相互独立事件的概率乘法公式
专题：概率与统计
分析：（I）4局乙胜，即4局中乙3胜，且第4局为胜，由此能求出比赛4局乙胜的概率．
（II）ξ取0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．
（Ⅲ）甲若得7分，至少进行4局或5局比赛，且最后一局甲赢，由此能求出甲得7分的概率．
（II）ξ取0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．
（Ⅲ）甲若得7分，至少进行4局或5局比赛，且最后一局甲赢，由此能求出甲得7分的概率．
解答：
（本小题满分为10分）
解：（I）由已知甲赢的概率为
，平的概率为
，输的概率为
，
由已知乙赢的概率为
，平的概率为
，输的概率为
，…．（2分）
4局乙胜，即4局中乙3胜，且第4局为胜
所求的概率为
(
)2(
)(
)+
(
)2(
)(
)=
．…（5分）
（II）ξ取0，1，2
P（ξ=0）=(
)2+(
)2
(
)(
)=
，
P（ξ=1）=
(
)(
)+
(
)(
)=
，
P（ξ=2）=（
）2=
，…（7分）
Eξ=0×
+1×
+2×
=1．…（8分）
（Ⅲ）甲若得7分，至少进行4局或5局比赛，且最后一局甲赢，
设比赛进行4局事件为P（A），比赛进行5局事件为P（B），
P（A）=
(
)(
)2(
)=
，
P（B）=
(
)(
)3(
)+
(
)
(
)(
)2(
)=
，
所以p=P（A）+P（B）=
．…（10分）
解：（I）由已知甲赢的概率为
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 3 |
由已知乙赢的概率为
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
4局乙胜，即4局中乙3胜，且第4局为胜
所求的概率为
| C | 2 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 3 |
| C | 2 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 27 |
（II）ξ取0，1，2
P（ξ=0）=(
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 6 |
| +C | 1 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 4 |
P（ξ=1）=
| C | 1 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| C | 1 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
P（ξ=2）=（
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| ξ | 0 | 1 | 2 | ||||||
| P |
|
|
|
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
（Ⅲ）甲若得7分，至少进行4局或5局比赛，且最后一局甲赢，
设比赛进行4局事件为P（A），比赛进行5局事件为P（B），
P（A）=
| C | 1 3 |
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 16 |
P（B）=
| C | 1 4 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
| C | 1 3 |
| 1 |
| 3 |
| C | 1 4 |
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 19 |
| 216 |
所以p=P（A）+P（B）=
| 65 |
| 432 |
点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题．
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如图P是△ABC所在平面外一点，PA=PB，CB⊥平面PAB，M是PC的中点，N是AB上的点，AN=3NB．求证：MN⊥AB．