Question

2．过抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F的直线l交C于A、B两点，P为C的准线上的动点，且A、B、P三点不共线，∠APB=θ，则$cos\frac{θ}{2}$的取值范围是[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．

Answer 1

分析 证明以AB为直径作圆则此圆与准线l相切，可得0°＜θ≤90°，即可求出$cos\frac{θ}{2}$的取值范围．

解答 解：设AB为过抛物线焦点F的弦，C为AB中点，A、B、P在准线l上射影分别为M、N、Q，
∵AC+BC=AM+BN
∴CQ=$\frac{1}{2}$AB，
∴以AB为直径作圆则此圆与准线l相切，
∵P为C的准线上的动点，且A、B、P三点不共线，∠APB=θ，
∴0°＜θ≤90°，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤$cos\frac{θ}{2}$＜1．
故答案为：[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．

点评 本题以抛物线为载体，考查抛物线过焦点弦的性质，关键是正确运用抛物线的定义，合理转化，综合性强．