Question

11．已知$z=-\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{3}i}}{2}$．
（1）$\bar z$是z的共轭复数，求${\bar z^2}+\bar z+1$的值；
（2）类比数列的有关知识，求${S_{2016}}=1+z+{z^2}+…+{z^{2015}}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用复数的乘法与加减运算法则化简求解即可．
（2）利用数列的求和，直接求解化简即可．

解答 解：（1）$\overline{z}=-\frac{1}{2}-\frac{{\sqrt{3}i}}{2}$，${\bar z^2}+\bar z+1={（{-\frac{1}{2}-\frac{{\sqrt{3}i}}{2}}）^2}-\frac{1}{2}-\frac{{\sqrt{3}i}}{2}+1=0$
（2）${S_{2016}}=1+z+{z^2}+…+{z^{2015}}=\frac{{1×（{1-{z^{2016}}}）}}{1-z}$，
∵${z^3}={（{-\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{3}i}}{2}}）^3}=1$，
∴1-z²⁰¹⁶=1-（z³）⁶⁷²=1-1=0，
∴${S_{2016}}=1+z+{z^2}+…+{z^{2015}}=\frac{{1×（{1-{z^{2016}}}）}}{1-z}=0$．

点评 本题考查复数的基本运算，数列求和，考查计算能力．