Question

12．已知f（x）=e^x，g（x）=x+1．
（1）证明：f（x）≥g（x）；
（2）求y=f（x），y=g（x）与x=-1所围成的封闭图形的面积．

Answer 1

分析 （1）设h（x）=f（x）-g（x），则h′（x）=e^x-1 h（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，即可证明结论；
（2）利用S=${∫}_{-1}^{0}（{e}^{x}-x-1）dx$，即可得出结论．

解答 （1）证明：设h（x）=f（x）-g（x），则h′（x）=e^x-1 
∴h（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
∴h（x）≥h（0）=0，
∴f（x）≥g（x）；
（2）解：S=${∫}_{-1}^{0}（{e}^{x}-x-1）dx$=$（{e}^{x}-\frac{1}{2}{x}^{2}-x）{|}_{-1}^{0}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{e}$．

点评 本题考查不等式的证明，考查定积分知识的运用，属于中档题．