Question

8．设F₁、F₂是椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的左右焦点，动点P在椭圆上，则$\frac{\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}}{|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}$的取值范围为（0，$\frac{2π}{3}$]．

Answer 1

分析 利用余弦定理，结合向量的数量积公式，即可得出结论．

解答 解：∵椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，
∴a²=4，b²=1，可得c²=a²-b²=3，即a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
设|PF₁|=m，|PF₂|=n，则由余弦定理可得cos∠F₁PF₂=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}-12}{2mn}$=$\frac{4-2mn}{2mn}$=$\frac{2}{mn}$-1
∵m+n=4≥2$\sqrt{mn}$，∴mn≤4
∴cos∠F₁PF₂≥-$\frac{1}{2}$，
∴0＜∠F₁PF₂≤$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}}{|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}$的取值范围为（0，$\frac{2π}{3}$]，
故答案为：（0，$\frac{2π}{3}$]．

点评 本题考查了余弦定理、椭圆的定义和简单几何性质等知识，考查基本不等式的运用，属于中档题．