Question

（1）已知集合M={x|x²-2x-3=0}，N={x|ax=1}，若N⊆M，求实数a的值．
（2）已知 p：f（x）=

1-x

3

，且|f（a）|＜2；q：集A={x|x²+（a+2）x+1=0，x∈R}，且A≠∅．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假,集合的包含关系判断及应用

专题：集合,简易逻辑

分析：（1）由于B⊆A，可对B分B=∅与B≠∅讨论即可求实数a的值，（2）由条件p或q为真命题，p且q为假命题，确定p与q一真一假，然后根据命题的真假关系确定取值范围．

解答： 解：（1）∵B⊆A，
∴当B=∅时，a=0，满足题意；
当B≠∅，即a≠0时，B={

1

a

}，
又A={x|x²-2x-3=0}={x|x=-1或x=3}，B⊆A，
∴

1

a

=-1或

1

a

=3，
∴a=-1或a=

1

3

，
综上所述，a=0或a=-1或a=

1

3

．
（2）由题意|f（a）|=

|1-a|

3

＜2成立，则-6＜1-a＜6，解得-5＜a＜7，
即当-5＜a＜7时，p是真命题；     
若A≠∅，则方程x²+（a+2）x+1=0有实数根，
由△=（a+2）²-4≥0，解得a≤-4，或a≥0，
即当a≤-4，或a≥0时，q是真命题；
由于p或q为真命题，p且q为假命题，
∴p与q一真一假，
故知所求a的取值范围是（-∞，-5]∪（-4，0）∪[7，+∞）．

点评：本题（1）考查集合关系中的参数取值问题，对B分B=∅与B≠∅讨论是关键，（2）复合命题的命题与简单命题的真假关系的应用，将命题进行化简是解决本题的关键．