Question

已知函数f（x）=log₂x，若数列3，f（x₁），f（x₂），…，f（x_m），3m+6（m∈N^*）成等差数列．
（Ⅰ）求数列{f（x_n）}（1≤n≤m，m，n∈N^*）的通项公式；
（Ⅱ）求数列{x_n}（1≤n≤m，m，n∈N^*）的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列与函数的综合

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）运用等差数列的通项公式，即可求出公差d=3，再由等差数列的通项公式，即可得到所求的通项公式；
（Ⅱ）由指数和对数的互换，再由等比数列的求和公式，即可得到前n项和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）数列3，f（x₁），f（x₂），…，f（x_m），3m+6（m∈N^*）成等差数列，
设公差为d，则3+（m+1）d=3m+6，则d=3，
则f（x₁）=3+3=6，
则f（x_n）=6+（n-1）•3=3n+3，
（Ⅱ）由于f（x_n）=log₂x_n=3n+3，
则x_n=2³ⁿ⁺³，则S_n=2⁶+2⁹+2¹²+…+2³ⁿ⁺³
=2⁶（1+2³+2⁶+…+2^3（n-1））
=2⁶•

1-23n

1-23

=

23n+6-64

7

．

点评：本题考查等差数列的通项公式和等比数列的求和公式，考查对数的运算性质，考查运算能力，属于中档题．