Question

下面有四个命题：
（1）函数y=sin(

2

3

x+

π

2

)是偶函数；
（2）函数f（x）=|cos2x|的最小正周期是π；
（3）函数f(x)=sin(x+

π

4

)在[-

π

2

，

π

2

]上是增函数；
（4）函数f（x）=sin2x-cos2x的一条对称轴是x=

3π

8

．
其中正确命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用诱导公式可知函数y=sin(

2

3

x+

π

2

)=cos

2

3

x是偶函数，可判断（1）；
（2）由f（x+

π

2

）=f（x）可判断（2）；
（3）利用正弦函数的单调性可知，f（x）=sin（x+

π

4

）在[-

3π

4

，

π

4

]上是增函数，在[

π

4

，

5π

4

]上是减函数，可判断（3）；
（4）利用f（

3π

8

）=sin2x-cos2x=

2

sin（2×

3π

8

-

π

4

）=

2

，为最大值，可判断（4）．

解答： 解：对于（1）：∵y=sin(

2

3

x+

π

2

)=cos

2

3

x是偶函数，故（1）正确；
对于（2）：∵f（x+

π

2

）=|cos2（x+

π

2

）|=|-cos2x|=|cos2x|=f（x），
∴函数f（x）=|cos2x|的最小正周期是

π

2

，故（2）错误；
对于（3）：由-

π

2

≤x+

π

4

≤

π

2

得：-

3π

4

≤x≤

π

4

，
∴f（x）=sin（x+

π

4

）在[-

3π

4

，

π

4

]上是增函数，同理可得，在[

π

4

，

5π

4

]上是减函数，故（3）错误；
对于（4）：∵f（x）=sin2x-cos2x=

2

sin（2x-

π

4

），
∴f（

3π

8

）=sin2x-cos2x=

2

sin（2×

3π

8

-

π

4

）=

2

，为最大值，
∴函数f（x）=sin2x-cos2x的一条对称轴是x=

3π

8

，故（4）正确．
综上所述，正确命题的序号是（1）（4），
故答案为：（1）（4）．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查正、余弦函数的奇偶性、单调性、对称性与最值，考查转化思想．