Question

数列{a_n}的前n项之和为S_n，数列{a_n}由如下方式给定：

(k-1)k

2

＜n≤

k(k+1)

2

（k∈N^*）时，a_n=（-1）^n-1k，定义集合M={n|a_n是S_n的整数倍，n∈N^*且1≤n≤10}，则M中所有元素之和为（　　）

• A、21
• B、22
• C、44
• D、45

Answer 1

考点：数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：由新定义可得数列{a_n}的前10项，分别求出a_n和S_n，得到满足条件的n，求和得答案．

解答： 解：由

(k-1)k

2

＜n≤

k(k+1)

2

（k∈N^*）时，a_n=（-1）^n-1k，可得
数列{a_n}的前10项为1，-2，2，-3，3，-3，4，-4，4，-4．
当n=1时，a_n=1，S_n=1，a_n是S_n的整数倍；
当n=2时，a_n=-2，S_n=-1，a_n是S_n的整数倍；
当n=3时，a_n=2，S_n=1，a_n是S_n的整数倍；
当n=4时，a_n=-3，S_n=-2，a_n不是S_n的整数倍；
当n=5时，a_n=3，S_n=1，a_n是S_n的整数倍；
当n=6时，a_n=-3，S_n=-2，a_n不是S_n的整数倍；
当n=7时，a_n=4，S_n=2，a_n是S_n的整数倍；
当n=8时，a_n=-4，S_n=-2，a_n是S_n的整数倍；
当n=9时，a_n=4，S_n=2，a_n是S_n的整数倍；
当n=10时，a_n=-4，S_n=-2，a_n是S_n的整数倍．
∴M中所有元素为1，2，3，5，7，8，9，10，和为45．
故选：D．

点评：本题是新定义题，考查了数列的求和，关键是对题意的理解，是中档题．