Question

19．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），且离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设O为坐标原点，若点A是椭圆上运动，且点A不在y轴上，点B在直线y=t上，且OA⊥OB，是否存在有序实数对（t，r）使得直线AB与圆O：x²+y²=r²总相切，若存在，求出所有满足题意的有序实数对（t，r）；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：$\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{2{b}^{2}}$=1，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，联立解出即可得出．
（2）设圆心在原点的圆的一条切线为y=kx+s，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直线代入椭圆方程，整理得x²+4（kx+s）²=4，要使切线与椭圆恒有两个交点A，B，则使△=64k²s²-16（1+4k²）（s²-1）=16（4k²-s²+1）＞0
．由此能求出存在圆心在原点的圆x²+y²=$\frac{4}{5}$，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B．

解答 解：（1）由题意可得：$\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{2{b}^{2}}$=1，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，
联立解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$．
∴椭圆E的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（2）①设圆心在原点的圆的一条切线为y=kx+s，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
直线代入椭圆方程，整理得x²+4（kx+s）²=4，
即（1+4k）²x²+8ksx+4s²-4=0，
要使切线与椭圆恒有两个交点A，B，
则使△=64k²s²-16（1+4k²）（s²-1）=16（4k²-s²+1）＞0
即4k²-s²+1＞0，即s²＜4k²+1，且x₁+x₂=-$\frac{8ks}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{s}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
y₁y₂=（kx₁+s）（kx₂+s）=k²x₁x₂+ks（x₁+x₂）+s²=$\frac{{s}^{2}-4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，
要使OA⊥OB，需使x₁x₂+y₁y₂=0，即$\frac{4{s}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$+$\frac{{s}^{2}-4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$=0，
所以5s²-4k²-4=0，即5s²=4k²+4且s²＜4k²+1，即4k²+4＜20k²+5恒成立．
又因为直线y=kx+s为圆心在原点的圆的一条切线，
所以圆的半径为r=$\frac{|s|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{4}{5}}$，所求的圆为x²+y²=$\frac{4}{5}$．
②当切线的斜率不存在时，切线为x=±$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
与$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1交于点（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，±$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）或（-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，±$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）满足．
综上，存在圆心在原点的圆x²+y²=$\frac{4}{5}$，满足题意的有序实数对（±1，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$），使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B．

点评 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，考查了推理能力与计算能力，属于难题．