树德中学高一数学兴趣班某同学探究发现:△ABC的内角A.B.C所对的边为a.b.c,在△ABC中有以下结论:①若ab＞c2,则0＜C＜$\frac{π}{3}$,②若a+b＞2c,则0＜C＜$\frac{π}{3}$,③若a.b.c成等比数列(即b2=ac).则0＜B≤$\frac{π}{3}$,④若a2.b2.c2成等比数列.亦有0＜B≤$\frac{π}{3}$,他留下了下� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．树德中学高一数学兴趣班某同学探究发现：△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c；在△ABC中有以下结论：
①若ab＞c²；则0＜C＜$\frac{π}{3}$；
②若a+b＞2c；则0＜C＜$\frac{π}{3}$；
③若a，b，c成等比数列（即b²=ac），则0＜B≤$\frac{π}{3}$；
④若a²，b²，c²成等比数列，亦有0＜B≤$\frac{π}{3}$；
他留下了下面两个问题，请你完成：
（I）若a，b，c成等差数列，证明：sin A+sin C=2sin（A+C）；
（II）若a²，b²，c²成等差数列，求B的取值范围．
（参考公式：（1）x，y∈R，x²+y²≥2xy；（2）x，y∈R⁺，x+y≥2$\sqrt{xy}$；当且仅当x=y时取等）

分析（I）由已知利用等差数列的性质可得a+c=2b．由正弦定理得sinA+sinC=2sinB，进而利用三角形内角和定理，诱导公式即可得解．
（II）由已知利用等差数列的性质可得2b²=a²+c²，由余弦定理，基本不等式可得cosB=$\frac{{{a^2}+{c^2}}}{4ac}$≥$\frac{1}{2}$，利用余弦函数的图象和性质即可得解．

解答（本题满分为12分）
解：（I）∵a，b，c成等差数列，
∴a+c=2b．由正弦定理得sin A+sin C=2sin B．
∵sin B=sin[π-（A+C）]=sin（A+C），
∴sin A+sin C=2sin（A+C）．…（6分）
（II）∵a²，b²，c²成等差数列，
∴2b²=a²+c²．
由余弦定理得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{{a^2}+{c^2}-\frac{{{a^2}+{c^2}}}{2}}}{2ac}$=$\frac{{{a^2}+{c^2}}}{4ac}$≥$\frac{1}{2}$，当且仅当a=c时等号成立，
∴cosB的最小值为$\frac{1}{2}$．
∴$0＜B≤\frac{π}{3}$．…（12分）