Question

8．已知集合A={x|-1＜x＜3}，集合B={x|x²-ax+b＜0，a，b∈R}．
（Ⅰ）若A=B，求a，b的值；
（Ⅱ）若b=3，且（A∩B）?B，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据韦达定理求出a，b的值即可；
（Ⅱ）得到B⊆A，通过讨论B是∅和B不是∅，得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）由题意：x²-ax+b＜0的解为-1＜x＜3，
所以：x²-ax+b=0，的解为x=-1，x=3，
即韦达定理有：a=-1+3=2；b=-1×3=-3…（5分）
（Ⅱ）由于（A∩B）⊆B，
又因为（A∩B）?B所以（A∩B）=B，
即：B⊆A，
ⅰ）当B=∅时，x²-ax+3＜0无解，
即△≤0，所以a²-12≤0，即$-2\sqrt{3}≤a≤2\sqrt{3}$；
ⅱ）当B≠∅时，且B⊆A，
只要方程x²-ax+3=0的两个不等的实数根在[-1，3]内即可，
令f（x）=x²-ax+3
则$\left\{{\begin{array}{l}{△＞0}\\{-1＜\frac{a}{2}＜3}\\{f（-1）≥0}\\{f（3）≥0}\end{array}}\right.$，解得：$2\sqrt{3}＜a≤4$，
综上所述：a的取值范围$[-2\sqrt{3}，4]$…（12分）

点评 本题考查了集合的运算，考查韦达定理以及二次函数的性质，是一道中档题．