Question

7．定义：若椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），则其特征折线为$\frac{|x|}{a}$+$\frac{|y|}{b}$=1（a＞b＞0）．设椭圆的两个焦点为F₁、F₂，长轴长为10，点P在椭圆的特征折线上，则下列不等式成立的是（　　）

• A． |PF₁|+|PF₂|＞10
• B． |PF₁|+|PF₂|＜10
• C． |PF₁|+|PF₂|≥10
• D． |PF₁|+|PF₂|≤10

Answer 1

分析 由椭圆的方程画出：特征折线$\frac{|x|}{a}$+$\frac{|y|}{b}$=1（a＞b＞0）的图形，由图可知P必然在椭圆内或椭圆上，则由椭圆的定义可知|PF₁|+|PF₂|≤10．

解答 解：作出椭圆与其特征折线的图象，如图所示：
由图可知点P在$\frac{|x|}{a}$+$\frac{|y|}{b}$=1（a＞b＞0）上，
∴P必然在椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）内或上，
即当P为椭圆的顶点时，|PF₁|+|PF₂|=10，
∴|PF₁|+|PF₂|≤10，

故选D．

点评 本题考查椭圆的定义，考查含绝对值的直线方程的图象，考查数形结合思想，属于中档题．