Question

16．已知直线l的参数方程：$\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=1+2t\end{array}$（t为参数）和圆C的极坐标方程：ρ=4$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）．P（0，1）
（1）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）判断直线l和圆C的位置关系，若相交于两点A、B，求|PA|•|PB|．

Answer 1

分析 （1）直线l的参数方程：$\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=1+2t\end{array}$（t为参数），消去参数可得直线l的普通方程，圆C的极坐标方程：ρ=4$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）．即ρ²=ρ•4$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）．ρ²=ρ•4$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinθ+cosθ）．利用互化公式可得：圆C为直角坐标方程．
（2）圆C方程为（x-2）²+（y-2）²=8，圆心C（2，2），半径r=2$\sqrt{2}$．利用点到直线的距离公式可得圆心（2，2）到直线l的距离d$＜2\sqrt{2}$=r，可得直线l和圆C相交，由相交弦定理可得：PA•PB=PE•PF=（PC+r）（r-PC）．

解答 解：（1）直线l的参数方程：$\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=1+2t\end{array}$（t为参数），消去参数可得直线l的普通方程为y=1+2x，
圆C的极坐标方程：ρ=4$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）．即ρ²=ρ•4$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）．ρ²=ρ•4$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinθ+cosθ）．
可得：圆C为直角坐标方程为x²+y²-4x-4y=0．…（4分）
（2）圆C方程为（x-2）²+（y-2）²=8，圆心C（2，2），半径r=2$\sqrt{2}$．
圆心（2，2）到直线l的距离d=$\frac{|2×2-2+1|}{\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$$＜2\sqrt{2}$=r，
直线l和圆C相交，且P（0，1）在圆内，连接PC，交圆于两点E、F，
由相交弦定理可得：
PA•PB=PF•PE=（PC+r）（r-PC）=r²-PC²=8-[（2-0）²+（2-1）²]=3．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系、相交弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．