Question

5．下表所示为X，Y，Z三种食物的维生素含量及成本，某食品厂欲将三种食物混合，制成至少含44000单位维生素A及48000单位维生素B的混合物100千克，所用的食物X，Y，Z的质量分别为x，y，z（千克），混合物的成本最少为960元．

	X	Y	Z
维生素A（单位/千克）	400	600	400
维生素B（单位/千克）	800	200	400
成本（元/千克）	12	10	8

Answer 1

分析 根据题意得出z=100-x-y，再利用甲、乙、丙三种食物的成本，写出混合食物的成本函数P；根据混合食物至少需含44000单位维生素A及48000单位维生素B，建立不等式组，求出最优解，计算最小值．

解答 解：某食物营养所想用x千克甲种食物，y千克乙种食物，z千克丙种食物配成100千克混合物，
则z=100-x-y，
∴P=12x+10y+8z=12x+10y+8（100-x-y）=4x+2y+800（元）；
由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{400x+600y+400（100-x-y）≥44000}\\{800x+200y+400（100-x-y）≥48000}\\{0≤x≤100}\\{0≤y≤100}\end{array}\right.$，
化简得$\left\{\begin{array}{l}{2x-y≥40}\\{20≤y≤100}\\{0≤x≤100}\end{array}\right.$，
画出此不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示；
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y=40}\\{y=20}\end{array}\right.$解得点A（30，20）；
当直线P=4x+2y+800过点A时，
函数P=4×30+2×20+800=960，取得最小值，
即x=30，y=20，z=50时，此时混合物的成本最少，为960元．
故答案为：960．

点评 本题主要考查了线性规划的应用问题，解题关键是根据已知得出不等式关系式，再确定出最低成本．