Question

6．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，1），$\overrightarrow{b}$=（1，cosx），x∈R，设f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$
（1）求函数f（x）的对称轴方程；
（2）若f（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，θ∈（0，$\frac{π}{2}$），求f（θ-$\frac{π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 （1）运用向量的数量积的坐标表示，结合正弦函数的对称轴方程，即可得到所求；
（2）运用诱导公式和同角三角函数的平方关系，计算即可得到所求值．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，1），$\overrightarrow{b}$=（1，cosx），x∈R，
设f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
由x+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
可得x=kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，
即有函数f（x）的对称轴方程为x=kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z；
（2）f（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
可得$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
即有cosθ=$\frac{1}{3}$，sinθ=$\sqrt{1-\frac{1}{9}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
f（θ-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin（θ-$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$sinθ=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查向量的数量积的坐标表示和三角形函数的恒等变换，以及正弦函数的图象和性质，考查运算能力，属于中档题．