Question

17．已知圆C：（x-1）²+（y-2）²=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）．
（1）求证：无论m取什么实数，直线l恒过第一象限；
（2）求直线l被圆C截得的弦长最短时m的值以及最短长度；
（3）设直线l与圆C相交于A、B两点，求AB中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）通过直线l转化为直线系，求出直线恒过的定点；
（2）说明直线l被圆C截得的弦长最小时，圆心与定点连线与直线l垂直，求出斜率即可求出m的值，再由勾股定理即可得到最短弦长；
（3）由CM⊥DM得AB中点M的轨迹方程．

解答 （1）证明：由（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，m∈R得：（x+y-4）+m（2x+y-7）=0，
∵m∈R，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4=0}\\{2x+y-7=0}\end{array}\right.$，得x=3，y=1，
故l恒过定点D（3，1）
∵D（3，1）在第一象限，
∴直线l恒过第一象限；
（2）解：因为（3-1）²+（1-2）²=5＜25，
则点D在圆C的内部，直线l与圆C相交．
圆心C（1，2），半径为5，|CD|=$\sqrt{5}$，
当截得的弦长最小时，l⊥CD，由于k_CD=$\frac{2-1}{1-3}$=-$\frac{1}{2}$，
则l的斜率为2，即有-$\frac{2m+1}{m+1}$=2，解得m=-$\frac{3}{4}$．
此时最短弦长为2$\sqrt{25-5}$=4$\sqrt{5}$，
故当m=-$\frac{3}{4}$时，直线被圆截得的弦最短，最短的弦长是4$\sqrt{5}$．
（3）解：设M（x，y），则由CM⊥DM得$\frac{y-2}{x-1}$•$\frac{y-1}{x-3}$=-1，∴x²+y²-4x-3y+5=0．

点评 本题考查直线系方程的应用，考查直线与圆的位置关系，考查平面几何知识的运用，考查计算能力，属于中档题．