Question

12．二项式${（{|a|x-\frac{{\sqrt{3}}}{6}}）^3}$的展开式的第二项的系数为$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，则$\int_{-2}^a{{x^2}dx}$的值为3或$\frac{7}{3}$．

Answer 1

分析 先求二项式展开式的通项公式，求出第二项系数，从而求出a的值，然后根据定积分的运算法则进行求解即可．

解答 解：二项式${（{|a|x-\frac{{\sqrt{3}}}{6}}）^3}$的展开式的通项为T_r+1=${C}_{3}^{r}$（|a|x）^3-r（-$\frac{\sqrt{3}}{6}$）^r，
∵展开式的第二项的系数为$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴${C}_{3}^{1}$|a|^3-1（-$\frac{\sqrt{3}}{6}$）¹=$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
解得：a=±1，
当a=-1时，$\int_{-2}^a{{x^2}dx}$=${∫}_{-2}^{-1}$x²dx=$\frac{1}{3}{x}^{3}$${|}_{-2}^{-1}$=$\frac{1}{3}$[-1-（-8）]=$\frac{7}{3}$，
当a=1时，$\int_{-2}^a{{x^2}dx}$=${∫}_{-2}^{1}$x²dx=$\frac{1}{3}{x}^{3}$${|}_{-2}^{1}$=$\frac{1}{3}$[1-（-8）]=3，
∴$\int_{-2}^a{{x^2}dx}$的值为3或$\frac{7}{3}$．
故答案为：3或$\frac{7}{3}$．

点评 本题主要考查了二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，求定积分的值，属于中档题．