Question

6．已知直三棱柱ABC-A′B′C′满足∠BAC=90°，AB=AC=$\frac{1}{2}$AA′=2，点M，N分别为A′B，B′C′的中点．
（1）求证：MN∥平面A′ACC′；
（2）求证：A′N⊥平面BCN．
（3）求三棱锥C-MNB的体积．

Answer 1

分析 （1）连接AB′，AC′，证明MN∥AC′，即可证明MN∥平面A′ACC′．
（2）利用直线与平面垂直的判定定理证明A′N⊥平面BCN．
（3）利用V_CMNB=V_MBCN，转化求解即可．

解答 （12分）解：（1）证明：如图，连接AB′，AC′，
∵四边形ABB′A′为矩形，M为A′B的中点，
∴AB′与A′B交于点M，且M为AB′的中点，又点N为B′C′的中点，∴MN∥AC′，
又MN?平面A′ACC′，且AC′?平面A′ACC′，
∴MN∥平面A′ACC′．

（2）直三棱柱ABC-A′B′C′满足∠BAC=90°，AB=AC=$\frac{1}{2}$AA′=2，点M，N分别为A′B，B′C′的中点．
可得A′N⊥B′C′，A′N⊥CC′，B′C′∩CC′=C′，∴A′N⊥平面BCN
（3）由图可知V_CMNB=V_MBCN，
∵∠BAC=90°，∴BC=$\sqrt{AB2+AC2}$=2$\sqrt{2}$，
又三棱柱ABC  A′B′C′为直三棱柱，且AA′=4，
∴S_△BCN=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×4=4$\sqrt{2}$．
∵A′B′=A′C′=2，∠B′A′C′=90°，点N为B′C′的中点，∴A′N⊥B′C′，A′N=$\sqrt{2}$．
又BB′⊥平面A′B′C′，∴A′N⊥BB′，
∴A′N⊥平面BCN．
又M为A′B的中点，
∴M到平面BCN的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴V_CMNB=V_MBCN=$\frac{1}{3}$×4$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查空间想象能力以及计算能力，转化思想的应用，考查逻辑推理能力．