Question

9．已知函数$f（x）=4cosxsin（x+\frac{π}{6}）-1$．
（Ⅰ）求f（x）的最大值及此时的x的集合；
（Ⅱ）求f（x）的单调增区间；
（Ⅲ）若$f（α）=\frac{1}{2}$，求$sin（\frac{π}{6}-4α）$．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），利用正弦函数的图象和性质可得f（x）的最大值及此时的x的集合；
（2）由$2kπ-\frac{π}{2}＜2x+\frac{π}{6}＜2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$，即可解得f（x）的单调增区间．
（3）由已知可求$sin（2α+\frac{π}{6}）=\frac{1}{4}$，利用诱导公式、倍角公式即可得解$sin（\frac{π}{6}-4α）$的值．

解答 （本题满分为12分）
解：$f（x）=4cosx（\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinx+\frac{1}{2}cosx）-1=2\sqrt{3}sinxcosx+2{cos^2}x-1$=$\sqrt{3}sin2x+cos2x=2sin（2x+\frac{π}{6}）$．---------------（4分）
（1）当$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+2kπ$时，即$x=\frac{π}{6}+kπ$时，f（x）_max=2；--------------（6分）
（2）由$2kπ-\frac{π}{2}＜2x+\frac{π}{6}＜2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$，
解得f（x）的单调增区间$（kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}），k∈Z$．-------（8分）
（3）∵$f（α）=2sin（2α+\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，
∴$sin（2α+\frac{π}{6}）=\frac{1}{4}$，
∴$sin（\frac{π}{6}-4α）=sin[\frac{π}{2}-2（2α+\frac{π}{6}）]=cos2（2α+\frac{π}{6}）=1-2{sin^2}（2α+\frac{π}{6}）=\frac{7}{8}$．------（12分）

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，诱导公式，倍角公式的综合应用，考查了转化思想和数形结合的能力，属于中档题．