Question

6．为了降低能源损耗，某冷库内部要建造可供使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为4万元，又知该冷库每年的能源消耗费用c（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系c（x）=$\frac{k}{2x+5}$（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗为8万元，设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和
（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小？并求最小值．

Answer 1

分析 （I）根据c（0）=8计算k，从而得出f（x）的解析式；
（II）利用基本不等式得出f（x）的最小值及等号成立的条件．

解答 解：（I）由题意可知c（0）=$\frac{k}{5}$=8，即k=40．
∴c（x）=$\frac{40}{2x+5}$，
∴f（x）=20c（x）+4x=$\frac{800}{2x+5}+4x$（0≤x≤10）．
（II）f（x）=$\frac{1600}{4x+10}+4x+10-10$≥2$\sqrt{1600}$-10=70．
当且仅当$\frac{1600}{4x+10}$=4x+10即x=$\frac{30}{4}$=7.5时取等号．
∴当隔热层厚度修建7.5厘米时，总费用f（x）达到最小，最小费用为70万元．

点评 本题考查了函数解析式的求解，基本不等式的应用，属于中档题．