Question

1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosA+a=2b．
（Ⅰ）求角C的值；
（Ⅱ）若a+b=2，当边c取最小值时，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理得：2sinCcosA+sinA=2sinB，从而sinA=2sinAcosC，进而cosC=$\frac{1}{2}$，由此能求出C．
（Ⅱ）由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab，由a+b=2，得${c}^{2}=4-3ab≥4-3（\frac{a+b}{2}）^{2}$=1，由此能示求出当c的最小值为1及S_△ABC．

解答 解：（Ⅰ）∵在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2ccosA+a=2b．
∴由正弦定理得：2sinCcosA+sinA=2sinB，
∴2sinCcosA+sinA=2sin（A+C），即2sinCcosA+sinA=2sinAcosC+2cosAsinC，
∴sinA=2sinAcosC，∵sinA≠0，∴cosC=$\frac{1}{2}$．
∵C是三角形的内角，∴C=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab，
∵a+b=2，∴c²=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab=4-3ab，
∴${c}^{2}=4-3ab≥4-3（\frac{a+b}{2}）^{2}$=1（当且仅当a=b=1时，等号成立），
∴当c的最小值为1，故S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查角的大小、三角形面积的求法，考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、诱导公式、正弦加法定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．