题目内容
20．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知b（cosA-2cosC）=（2c-a）cosB．（1）求$\frac{sinA}{sinC}$的值；
（2）若cosB=$\frac{1}{4}$，b=2，求△ABC的面积S．
分析 （1）由正弦定理得：sinB（cosA-2cosC）=（2sinC-sinA）cosB，从而sinC=2sinA，由此能求出$\frac{sinA}{sinC}$的值．
（2）推导出c=2a，由余弦定理得a=1，c=2，由此能求出△ABC的面积．
解答 解：（1）∵在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，
b（cosA-2cosC）=（2c-a）cosB．
∴由正弦定理得：sinB（cosA-2cosC）=（2sinC-sinA）cosB，
化简，得：sin（A+B）=2sin（B+C），
∴sinC=2sinA，
∴$\frac{sinA}{sinC}$=$\frac{1}{2}$．
（2）∵$\frac{sinA}{sinC}$=$\frac{1}{2}$，∴c=2a，
由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB，
∵cosB=$\frac{1}{4}$，b=2，
∴4=a2+4a2-a2．解得a=1，c=2，
∵cosB=$\frac{1}{4}$，0＜B＜π，∴sinB=$\sqrt{1-（\frac{1}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{1}{2}×1×2×\frac{\sqrt{15}}{4}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．
点评 本题考查三角形中两角正弦值的比值的求法，考查三角形面积的求法，考查三角形面积、正弦定理、余弦定理、诱导公式、同角三角函数关系式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
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10．
如图程序框图是为了求出满足3n-2n＞1000的最小偶数n，那么在
和
两个空白框中，可以分别填入（ ）
如图程序框图是为了求出满足3n-2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（ ）| A． | A＞1 000和n=n+1 | B． | A＞1 000和n=n+2 | C． | A≤1 000和n=n+1 | D． | A≤1 000和n=n+2 |
8．设O为△ABC的外心，且5$\overrightarrow{OA}+12\overrightarrow{OB}+13\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$，则△ABC的内角C的值为（ ）
| A． | $\frac{π}{2}$ | B． | $\frac{π}{3}$ | C． | $\frac{π}{4}$ | D． | $\frac{π}{6}$ |
15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若sinA=sinC，b2-a2=ac，则∠A=（ ）
| A． | $\frac{π}{2}$ | B． | $\frac{π}{4}$ | C． | $\frac{π}{3}$ | D． | $\frac{π}{6}$ |
9．四边形ABCD为平行四边形，若$\overrightarrow{AB}$=（2，3），$\overrightarrow{AD}$=（-1，2），则$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{BD}$=（ ）
| A． | （-2，4） | B． | （4，6） | C． | （-6，-2） | D． | （-1，9） |