Question

已知等差数列{a_n}的通项公式为a_n=3n-2，等比数列{b_n}中，b₁=a₁，b₄=a₃+1，记集合A={x|x=a_n，n∈N}，B={x|x=b，n∈N}，U=A∪B，把集合U中的元素按从小到大依次排列，构成数列{c_n}，则数列{c_n}的前50项和S₅₀=

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知得b_n=2^n-1．数列{a_n}的前50项所构成的集合为{1，4，7，10，…，148}，数列{b_n}的前8项构成的集合为{1，2，4，8，16，32，64，128}，数列{c_n}的前50项应包含数列{a_n}的前46项和数列{b_n}中的2，8，32，128这4项．由此能求出S₅₀．

解答： 解：设等比数列{b_n}的公比为q，
∵b₁=a₁=1，b₄=a₃+1=8，则q³=8，∴q=2，
∴b_n=2^n-1．
根据数列{a_n}和数列{b_n}的增长速度，
数列{c_n}的前50项至多在数列{a_n}中选50项，
数列{a_n}的前50项所构成的集合为{1，4，7，10，…，148}，
由2^n-1＜148得，n≤8，
数列{b_n}的前8项构成的集合为{1，2，4，8，16，32，64，128}，
其中1，4，16，64是等差数列{a_n}中的项，2，8，32，128不是等差数列中的项，
a₄₆=136＞128，
∴数列{c_n}的前50项应包含数列{a_n}的前46项和数列{b_n}中的2，8，32，128这4项．
∴S₅₀=

46(1+136)

2

+2+8+32+128=3321．
故答案为：3321．

点评：本题考查数列的前50项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．