Question

若函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数，则函数F（x）=f（x）f′（x）+f²（x）的最大值

 

．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的概念及应用

分析：先对原函数求导数，然后再将F（x）表示出来，利用三角变换化成一个角、一种三角函数、一次的形式，再利用正弦函数的性质求最大值．

解答： 解：由已知得f′（x）=cosx-sinx，所以F（x）=f（x）f′（x）+f²（x）
=（cosx-sinx）（cosx+sinx）+（sinx+cosx）²．
=cos²x-sin²x+2sinxcosx+1
=cos2x+sin2x+1
=

2

sin(2x+

π

4

)+1．
因为sin(2x+

π

4

)≤1，
所以F（x）的最大值为1+

2

．
故答案为1+

2

．

点评：本题应先求出函数f（x）的导数，然后再得到F（x），将其化简成形如y=Asin（ωx+θ）的形式，再利用正弦函数的性质求解．