Question

已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.

(1) 求a与b的夹角θ；

(2) 求|a＋b|；

(3) 若＝a，＝b，求△ABC的面积．

Answer 1

解：(1) ∵  (2a－3b)·(2a＋b)＝61，

∴  4|a|²－4a·b－3|b|²＝61.

又|a|＝4，|b|＝3，∴  64－4a·b－27＝61，

∴  a·b＝－6.

∴  cosθ＝＝＝－.

又0≤θ≤π，∴  θ＝.

(2) 可先平方转化为向量的数量积．

|a＋b|²＝(a＋b)²＝|a|²＋2a·b＋|b|²

＝4²＋2×(－6)＋3²＝13，

∴  |a＋b|＝.

(3) ∵  与的夹角θ＝，

∴  ∠ABC＝π－＝.

又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，

∴  S_△ABC＝||||sin∠ABC＝×4×3×＝3.