Question

已知等差数列{a_n}满足a₁+a₂+a₃=a₅=9，等比数列{b_n}满足0＜b_n+1＜b_n，b₁+b₂+b₃=

13

9

，b₁b₂b₃=

1

27

（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=a_n•b_n，试求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的通项公式,等差数列的性质

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）由已知得a₂=3，d=

a5-a2

5-2

=

6

3

=2，a₁=3-2=1，由此能求出a_n=1+（n-1）×2=2n-1．由已知得3q²-10q+3=0，由此能能求出数列{a_n}和{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）由c_n=a_n•b_n=（2n-1）•3^n-1，利用错位相减法能求出数列{c_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵等差数列{a_n}满足a₁+a₂+a₃=a₅=9，
∴a₂=3，d=

a5-a2

5-2

=

6

3

=2，a₁=3-2=1，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
∵等比数列{b_n}满足0＜b_n+1＜b_n，b₁+b₂+b₃=

13

9

，b₁b₂b₃=

1

27

，
∴公比q＞1，b₂=

1

3

，
∴

1

3q

+

1

3

+

1

3

q=

13

9

，即3q²-10q+3=0，
则q＞1，解得q=3，∴b₁=

1

9

，
∴b_n=

1

9

×3n-1=3^n-3．
（Ⅱ）∵c_n=a_n•b_n=（2n-1）•3^n-1，
∴S_n=1•3⁰+3•3+5•3²+…+（2n-1）•3^n-1，①
3S_n=1•3+3•3²+5•3³+…+（2n-1）•3ⁿ，②
①-②，得-2S_n=1+2•（3+3²+3³+…+3^n-1）=1+2×

3(1-3n-1)

1-3

=1+2×

3(1-3n-1)

1-3

=1-3+3ⁿ，
∴S_n=1-

3n

2

．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．