Question

如图，在多面体ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁B₁B⊥底面A₁B₁C₁，四边形AA₁B₁B是矩形，A₁C₁=A₁B₁，BC∥B₁C₁，B₁C₁=2BC．
（Ⅰ）求证：A₁C⊥B₁C₁；
（Ⅱ）若AA₁=A₁B₁=2，且∠B₁A₁C₁=120°，求多面体ABC-A₁B₁C₁的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）取B₁C₁的中点D，连接CD、A₁D，由已知得四边形CDB₁B是平行四边形，CD∥AA₁，AA₁⊥B₁C₁，B₁C₁⊥A₁D，由此能证明A₁C⊥B₁C₁．
（Ⅱ）由已知得平面ABC∥平面A₁B₁D，从而多面体ABC-A₁B₁D是三棱柱，由此能求出多面体ABC-A₁B₁C₁的体积．

解答： （Ⅰ）证明：取B₁C₁的中点D，连接CD、A₁D，因为BC∥B₁C₁，B₁C₁=2BC，
所以CB∥DB₁，∴CB=DB₁，
∴四边形CDB₁B是平行四边形，（1分）
又AA₁B₁B是矩形，∴CD∥AA₁，（2分）
因为侧面AA₁B₁B⊥底面A₁B₁C₁，AA₁⊥A₁B₁，
∴AA₁⊥底面A₁B₁C₁，
∴AA₁⊥B₁C₁，（3分）
因为点D是B₁C₁的中点，
∴B₁C₁⊥A₁D，（4分）
又A₁D∩AA₁=A₁，∴B₁C₁⊥平面AA₁DC，（5分）
∴A₁C⊥B₁C₁；（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：CD∥AA₁∥BB₁，且CD=AA₁=BB₁，
∵AB∥A₁B₁，BC∥B₁D₁，（7分）
∴平面ABC∥平面A₁B₁D，（8分）
∴多面体ABC-A₁B₁D是三棱柱，（9分）
又AA₁⊥底面A₁B₁C₁，
∵AA₁=AB=2，∠B₁A₁C₁=120°，
∴A1D=1，B1D=

3

，（10分）
∴三棱柱ABC-A₁B₁D的体积V1=

1

2

A1D•B1D•AA1=

3

，（11分）
∵B₁C₁⊥平面AA₁CD，
∴四棱锥C₁-AA₁CD的体积V1=

1

3

•A1D•AA1•C1D=

2 3

3

，（12分）
∴多面体ABC-A₁B₁C₁的体积为

5 3

3

．（13分）

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查多面体的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．