Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）A＞0，ω＞0，-

π

2

＜φ＜0，-

π

2

＜ω＜0）的相邻对称轴之间的距离为

π

2

，且该函数图象的一个最高点为（

5π

12

，4）
（1）求函数f（x）解析式和单调增区间；
（2）若x∈[

π

4

，

π

2

]，求函数 f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

考点：正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据条件确定A，和函数的周期即可求函数f（x）解析式和单调增区间；
（2）求出2x-

π

3

的取值范围，结合正弦函数的图象和性质即可，求函数 f（x）的最大值和最小值．

解答： 解：（1）由题意得A=4，T=

2π

ω

=π，即ω=2，
则f（x）=4sin（2x+φ），
由f（

5π

12

）=4sin（2×

5π

12

+φ）=4，且-

π

2

＜φ＜0，
得φ=-

π

3

，
即f（x）=4sin（2x-

π

3

），
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z
得kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，k∈Z，
即函数f（x）单调增区间为[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈Z；
（2）若x∈[

π

4

，

π

2

]，
则2x-

π

3

∈[

π

6

，

2π

3

]，

1

2

≤sin（2x-

π

3

）≤1，
2≤4sin（2x-

π

3

）≤4．
即函数 f（x）的最大值为4，最小值为2．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出函数的解析式，利用正弦函数的图象和性质求函数的单调区间和最值．