Question

3．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，2S_n=3a_n-3（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列b_n=log₃a_n+a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）当n≥2时利用a_n=S_n-S_n-1计算可知a_n=3a_n-1，进而可知数列{a_n}是首项、公比均为3的等比数列，计算即得结论；
（2）通过（1）可知b_n=n+3ⁿ，进而分组求和即得结论．

解答 解：（1）∵2S_n=3a_n-3，
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{3}{2}$（a_n-1）-$\frac{3}{2}$（a_n-1-1），
整理得：a_n=3a_n-1，
又∵2S₁=3a₁-3，即a₁=3，
∴数列{a_n}是首项、公比均为3的等比数列，
∴其通项公式a_n=3ⁿ；
（2）由（1）可知b_n=log₃a_n+a_n=log₃3ⁿ+3ⁿ=n+3ⁿ，
∴T_n=$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$
=$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{{3}^{n+1}-3}{2}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于基础题．