Question

11．在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为正三角形，底面ABCD为边长为2的正方形，点E为棱PB的中点，则点P到平面ACE的距离为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{7}}{7}$
• B． $\frac{\sqrt{21}}{7}$
• C． $\frac{\sqrt{35}}{7}$
• D． $\frac{2\sqrt{21}}{7}$

Answer 1

分析 取AD中点O，以O为原点，OA为x轴，过O作AB平行线为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点P到平面ACE的距离．

解答 解：取AD中点O，连结PO，
∵在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为正三角形，∴PO⊥底面ABCD，
∴以O为原点，OA为x轴，过O作AB平行线为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
B（1，2，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），E（$\frac{1}{2}，1，\frac{\sqrt{3}}{2}$），C（-1，2，0），A（1，0，0），
$\overrightarrow{AC}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{AE}$=（-$\frac{1}{2}$，1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{AP}$=（-1，0，$\sqrt{3}$）
设平面ACE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=-2x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=-\frac{1}{2}x+y+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
∴点P到平面ACE的距离为d=$\frac{|\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-1+0-1|}{\sqrt{1+1+\frac{1}{3}}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．
故选：D．

点评 本题考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．