Question

过点（1，2）的直线l与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，当△ABC的面积最小时，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线的一般式方程

专题：直线与圆

分析：设点 A（a，0）B （0，b）（a，b＞0），直线l的方程为

x

a

+

y

b

=1，点（1，2）在此直线上，由基本不等式，
得1=

1

a

+

2

b

≥2

2 ab

，由此能求出△AOB的面积最小时，直线l的方程．

解答： 解：设点 A（a，0）B （0，b）（a，b＞0）则直线l的方程为

x

a

+

y

b

=1，
由题意，点 （1，2）在此直线上，所以

1

a

+

2

b

=1，
由基本不等式，
得1=

1

a

+

2

b

≥2

2 ab

，
∴ab≥8，
于是S_△AOB=

1

2

ab≥4 当且仅当 

1

a

=

2

b

，
即a=2，b=4时，取“=”，
因此，△AOB的面积最小时，
直线l的方程为

x

2

+

y

4

=1，即2x+y-4=0．

点评：本题考查当△ABC的面积最小时，直线l的方程的求法，解题时要认真审题，注意基本不等式的性质的合理运用．