Question

设函数

a

=（cos（2x+

π

3

），sinx），

b

=（1，sinx），f（x）=

a

•

b

，
（Ⅰ）求函数f（x）最小正周期；
（Ⅱ）设△ABC的三个内角A、B、C的对应边分别是a、b、c，若c=

6

，cosB=

1

3

，f（

C

2

）=-

1

4

，求b．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）由条件利用两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换，求得函数f（x）=

1

2

-

3

2

sin2x，可得它的周期．
（Ⅱ）△ABC中，由f（

C

2

）=-

1

4

，求得sinC=

3

2

．再由正弦定理可得

b

sinB

=

c

sinC

 求得b的值．

解答： 解：（Ⅰ）由题意可得函数f（x）=

a

•

b

=cos（2x+

π

3

）+sinx•sinx=

1

2

-

3

2

sin2x，
故函数的最小正周期为

2π

2

=π．
（Ⅱ）△ABC中，∵c=

6

，cosB=

1

3

，∴sinB=

2 2

3

．
∵f（

C

2

）=-

1

4

=

1

2

-

3

2

sinC，∴sinC=

3

2

．
再由正弦定理可得

b

sinB

=

c

sinC

，即

b

2 2 3

=

6

3 2

，求得b=

8

3

．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，正弦定理的应用，属于基础题．