Question

已知同时满足下列两个性质的函数f（x）称为“A型函数”．
①函数f（x）在其定义域上是单调函数；
②f（x）的定义域内存在区间[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]．
（1）判断函数f（x）=x²-x+1，（x＞0）是否是“A型函数”；
（2）若函数g（x）=-x³是“A型函数”，求出满足②的区间[a，b]中a，b的值；
（3）若h（x）=

x

-t“A型函数”，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）直接根据该函数的增减性进行判断即可；（2）根据“A型函数”的概念，得到

f(a)=b f(b)=a

，且（a＜b），
然后，确定a，b的值；（3）根据h（x）=

x

-t“A型函数”，结合该函数的单调性，得到

h(a)=a h(b)=b

，且（a＜b），从而得到实数t的取值范围．

解答： 解：（1）函数f（x）=x²-x+1，（x＞0）
在（0，

1

2

]上单调递减，在区间[

1

2

，+∞）上单调递增，
故它不是“A型函数”；
（2）∵函数g（x）=-x³是“A型函数”，
在R上单调递减，则满足：

f(a)=b f(b)=a

，且（a＜b），
∴

-a3=b -b3=a

，
∴

a=-1 b=1

．
（3）∵若h（x）=

x

-t“A型函数”，
它在[0，+∞）上为增函数，
∴

h(a)=a h(b)=b

，且（a＜b），
∴

a -t=a b -t=b

，
则方程m²-m+t=0在[0，+∞）上有两个不等的实根，
∴

△=(-1)2-4t＞0 t≥0

，
∴0≤t＜

1

4

，
∴实数t的取值范围[0，

1

4

）．

点评：本题属于信息给予题，题目信息量较大，综合考查了函数的基本性质：单调性、最值、二次方程的根的判断等知识，属于难题，解题关键就是如何准确理解给定的有效信息．