Question

已知x≥0，y≥0，且x+y=1，则

1

x+1

+

4

y+1

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：导数的综合应用

分析：由已知x≥0，y≥0，且x+y=1，可得0≤x≤1，y=1-x．代入可得

1

x+1

+

4

y+1

=

1

x+1

+

4

2-x

=f（x），再利用导数研究其单调性即可得出．

解答： 解：∵x≥0，y≥0，且x+y=1，
∴0≤x≤1，y=1-x．
∴

1

x+1

+

4

y+1

=

1

x+1

+

4

2-x

=f（x），
∴f′（x）=

-1

(x+1)2

+

4

(2-x)2

=

3x(x+4)

(x+1)2(2-x)2

≥0，
∴函数f（x）在[0，1]上单调递增．
∴当x=0时，f（x）取得极小值即最小值3．
故答案为：3．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，属于基础题．