Question

已知函数f（x）=[ln（a+x）]²+2ln（a+x）-2x，若x=0是函数f（x）的极值点，试证明：函数f（x）在（0，1）是减函数．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,函数单调性的判断与证明,利用导数研究函数的单调性

专题：证明题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：求出函数f（x）的导数，x=0是函数f（x）的极值点，则f′（0）=0，通过g（x）=lnx-x+1的单调性和最值，可得a=1，再求f（x）的导数，运用g（x）的单调性，即可证得f（x）在（0，1）的导数小于0，进而得证．

解答： 证明：函数f（x）=[ln（a+x）]²+2ln（a+x）-2x的导数
f′（x）=2ln（a+x）•

1

a+x

+

2

a+x

-2，
x=0是函数f（x）的极值点，则f′（0）=0，
即有2lna•

1

a

+

2

a

-2=0，
即为lna-a+1=0，
令g（x）=lnx-x+1，
由（lnx-x+1）′=

1

x

-1，当x＞1时，g′（x）＜0，g（x）递减，
当0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）递增，
则有g（x）≤g（1），即为lnx-x+1≤0，
则lna-a+1=0，解得a=1，
则f（x）=[ln（1+x）]²+2ln（1+x）-2x的导数为
f′（x）=2ln（1+x）•

1

x+1

+

2

x+1

-2=

2

x+1

[ln（x+1）-（x+1）+1]，
由0＜x＜1，则1＜x+1＜2，
则ln（x+1）-（x+1）+1＜0，
即有f′（x）＜0，
则函数f（x）在（0，1）是减函数．

点评：本题考查函数的极值与导数的关系，考查运用函数的导数证明函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．