题目内容
设椭圆E：
+
=1（a＞b＞0），其长轴长是短轴长的
倍，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为2
．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设过右焦点F2且与x轴不垂直的直线l交椭圆E于P，Q两点，在线段OF2（O为坐标原点）上是否存在点M（m，0），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 2 |
| 3 |
（1）求椭圆E的方程；
（2）设过右焦点F2且与x轴不垂直的直线l交椭圆E于P，Q两点，在线段OF2（O为坐标原点）上是否存在点M（m，0），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
考点：椭圆的简单性质
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（1）由题意先求出直线与椭圆的交点坐标，再列出方程求出a、b的值，代入椭圆方程即可；
（2）先假设存在点M（m，0）（0＜m＜
）满足条件，由点斜式设出直线l的方程，以及P、Q的坐标，将直线方程代入椭圆方程化简后，利用韦达定理、菱形的等价条件、向量知识，可求出m的范围，再进行判断．
（2）先假设存在点M（m，0）（0＜m＜
| 6 |
解答：
解：（1）不妨设焦点的坐标是（c，0），
则过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆的交点坐标为（c，y0），
代入
+
=1可得，y0=±
，
因为过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为2
，
所以2×
=2
，
由题意得，a=
b，代入上式解得：a=2
、b=
，
故所求椭圆方程为
+
=1．
（2）假设在线段OF2上存在点M（m，0）（0＜m＜
）满足条件，
∵直线与x轴不垂直，
∴设直线l的方程为y=k(x-
)(k≠0)．
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
由
，可得(1+2k2)x2-4
k2x+12k2-12=0．
则x1+x2=
，x1•x2=
．
∴
=(x1-m，y1)，
=(x2-m，y2)，
=(x2-x1，y2-y1)，其中x2-x1≠0，
∵以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形，
∴(
+
)⊥
?(
+
)•
=0．
∴（x1+x2-2m）（x2-x1）+（y1+y2）（y2-y1）=0．
∴x1+x2-2m+k（y1+y2）=0．
∴
-2m+k2(
-2
)=0．
化简得m=
=
（k≠0），
则m∈(0，
)
在线段OF2上存在点M（m，0）符合条件，且m∈(0，
)．
则过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆的交点坐标为（c，y0），
代入
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| b2 |
| a |
因为过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为2
| 3 |
所以2×
| b2 |
| a |
| 3 |
由题意得，a=
| 2 |
| 3 |
| 6 |
故所求椭圆方程为
| x2 |
| 12 |
| y2 |
| 6 |
（2）假设在线段OF2上存在点M（m，0）（0＜m＜
| 6 |
∵直线与x轴不垂直，
∴设直线l的方程为y=k(x-
| 6 |
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
由
|
| 6 |
则x1+x2=
4
| ||
| 1+2k2 |
| 12k2-12 |
| 1+2k2 |
∴
| MP |
| MQ |
| PQ |
∵以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形，
∴(
| MP |
| MQ |
| PQ |
| MP |
| MQ |
| PQ |
∴（x1+x2-2m）（x2-x1）+（y1+y2）（y2-y1）=0．
∴x1+x2-2m+k（y1+y2）=0．
∴
4
| ||
| 1+2k2 |
4
| ||
| 1+2k2 |
| 6 |
化简得m=
| ||
| 1+2k2 |
| ||
|
则m∈(0，
| ||
| 2 |
在线段OF2上存在点M（m，0）符合条件，且m∈(0，
| ||
| 2 |
点评：本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，韦达定理的运用，以及平面向量的知识，考查化简、计算能力以及存在性的问题，属于中档题．
练习册系列答案
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| ||
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| D、A={x|x是圆}，B={y|y是三角形}，f：每一个圆对应它的外切三角形 |
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