Question

下列命题中：（1）“k=1”是“函数y=cos²kx-sin²kx的最小正周期为π”的充要条件；（2）“a=3”是“直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a-1）y=a-7相互垂直”的充要条件；（3）y=

x2+4

x2+3

的最小值为2；（4）“

f(-x)

f(x)

=1”是“y=f（x）是偶函数”的充要条件，其中假命题序号是

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,三角函数的图像与性质,不等式的解法及应用,直线与圆,简易逻辑

分析：本题（1）可以将原命题中的“函数y=cos²kx-sin²kx”进行化简，从而求出其最小正周期，判断出命题间的关系，得到本题结论；
（2）将“直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a-1）y=a-7相互垂直”进行研究，求出a的值，得到本题结论；
（3）可以通过基本不等式法求最值，判断命题是否正确，注意公式使用时的条件“一正、二定、三相等”；
（4）根据函数奇偶性的定义，判断关系式）“

f(-x)

f(x)

=1”是“y=f（x）”的关系，得到本题结论．

解答： 解：命题（1），
∵函数y=cos²kx-sin²kx，
∴y=cos2kx，
最小正周期为

2π

2|k|

=

π

|k|

，
∴函数y=cos²kx-sin²kx的最小正周期为

π

|k|

．
∴当k=1时，函数y=cos²kx-sin²kx的最小正周期为π，
当函数y=cos²kx-sin²kx的最小正周期为π时，k=±1，
∴“k=1”是“函数y=cos²kx-sin²kx的最小正周期为π”的充分条件，
故命题（1）不正确；
命题（2），
∵直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a-1）y=a-7相互垂直，
∴3a+2（a-1）=0，
∴a=

2

5

．
∴“a=

2

5

”是“直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a-1）y=a-7相互垂直”的充要条件，
故命题（2）不正确；
命题（3），
∵y=

x2+4

x2+3

，
∴y=

x2+3+1

x2+3

=

x2+3

+

1

x2+3

≥2，
当且仅当

x2+3

=

1

x2+3

=1时取等号，
∵

x2+3

≥

3

，
∴等号不成立，
∴y=

x2+4

x2+3

＞2，
故命题“y=

x2+4

x2+3

的最小值为2”不成立；
命题（4），
∵y=f（x）是偶函数，
∴可取f（x）=0，
则

f(-x)

f(x)

无意义，
∴命题“

f(-x)

f(x)

=1”是“y=f（x）是偶函数”的充要条件，是假命题；
故答案为：（1）（2）（3）（4）．

点评：本题考查了三角函数式的化简、直线的位置关系、基本不等式的应用、函数的奇偶性，本题知识面广，对学生能力要求比较高，属于中档题．