Question

数列{a_n}满足a₁=

1

2

，a_n+1=

an

2an+3

（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）据（1）猜想{a_n}的通项公式；
（3）用数学归纳法证明上述猜想；
（4）若题目已知条件不变，只要求求数列{a_n}的通项公式怎么解呢？

Answer 1

考点：数学归纳法,数列递推式,归纳推理

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：本题先根据题目中递推关系式，由a₁=

1

2

，求出a₂、a₃、a₄，并推测a_n的表达式，然后用数学归纳法加以证明，得到本题结论，也可以运用构造 新数列 的方法，对新数列的通项公式进行研究，从而得到数列{a_n}的通项公式，得到本题结论．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}满足a₁=

1

2

，a_n+1=

an

2an+3

（n∈N^*），
∴a1=

1

3-1

，
∴a₂=

a1

2a1+3

=

1 2

2× 1 2 +3

=

1

8

=

1

32-1

，
a3=

a2

2a2+3

=

1 8

2× 1 8 +3

=

1

26

=

1

33-1

，
a₄=

a3

2a3+3

=

1 26

2× 1 26 +3

=

1

80

=

1

34-1

，
（2）据（1）猜想{a_n}的通项公式为：a n=

1

3n-1

，n∈N^*．
（3）下面数学归纳法证明．
证明：①当n=1时，
a₁=

1

3-1

=

1

2

，
∴n=1时，猜想成立，
②假设n=k，k∈N^*时，猜想成立，
即ak=

1

3k-1

，
∴ak+1=

ak

2ak+3

=

1 3k-1

2 3k-1 +3

=

1

2+3(3k-1)

=

1

3k+1-1

，
∴n=k+1时，猜想仍成立，
由①②知：a n=

1

3n-1

，n∈N^*．
（4）用构造法求数列求通项
∵数列{a_n}满足a₁=

1

2

，a_n+1=

an

2an+3

（n∈N^*），
∴a_n≠0，

1

an+1

=

2an+3

an

=

3

an

+2，
∴

1

an+1

+1=3(

1

an

+1)，
∵

1

a1

+1=3，
∴新数列{

1

an

+1}是以3为首项，以3为公比的等比数列，
∴

1

an

+1=3×3^n-1=3ⁿ，
∴a n=

1

3n-1

，n∈N^*．

点评：本题考查了数学归纳法，通过猜想再证明的方法求数列的通项，也可用构造新数列的方法求数列的通项，本题难度适中，属于中档题．